Let a= i+2 j-3 k, b=2 i-3 j+5 k.

Question

Let $\vec a=\hat i+2\hat j-3\hat k$, $\vec b=2\hat i-3\hat j+5\hat k$. If $\vec r	imes\vec a=\vec b	imes\vec r$, $\vec r\cdot(\alpha\hat i+2\hat j+\hat k)=3$, and $\vec r\cdot(2\hat i+5\hat j-\alpha\hat k)=-1$, then $\alpha+|\vec r|^2$ is:

Accepted Answer

$\vec r\times\vec a=-\vec r\times\vec b \Rightarrow \vec r\times(\vec a+\vec b)=\vec 0 \Rightarrow \vec r=\lambda(\vec a+\vec b)=\lambda(3,-1,2)$.

$\vec r\cdot(\alpha,2,1)=3$: $\lambda(3\alpha-2+2)=3 \Rightarrow \alpha\lambda=1$.

$\vec r\cdot(2,5,-\alpha)=-1$: $\lambda(6-5-2\alpha)=-1 \Rightarrow \lambda(1-2\alpha)=-1 \Rightarrow \lambda-2(\alpha\lambda)=-1 \Rightarrow \lambda-2=-1 \Rightarrow \lambda=1$.

So $\alpha=1$, $\vec r=(3,-1,2)$, $|\vec r|^2=9+1+4=14$.

$$\alpha+|\vec r|^2 = 1+14=15$$

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