If a=1√10(3 i+ k) and b=17(2 i+3 j-6 k), then the value of (2 a- b)[( a b)( a+2 b)] is:

Question

If $\vec a=\dfrac1{\sqrt{10}}(3\hat i+\hat k)$ and $\vec b=\dfrac17(2\hat i+3\hat j-6\hat k)$, then the value of $(2\vec a-\vec b)\cdot\big[(\vec a	imes\vec b)	imes(\vec a+2\vec b)\big]$ is:

Accepted Answer

$|\vec a|^2=\dfrac{9+1}{10}=1$, $|\vec b|^2=\dfrac{4+9+36}{49}=1$, and $\vec a\cdot\vec b=\dfrac1{7\sqrt{10}}(6+0-6)=0$.

$$(\vec a\times\vec b)\times(\vec a+2\vec b) = (\vec a\cdot\vec a)\vec b-(\vec a\cdot\vec b)\vec a+2(\vec a\cdot\vec b)\vec b-2(\vec b\cdot\vec b)\vec a = \vec b-2\vec a$$

$$(2\vec a-\vec b)\cdot(\vec b-2\vec a) = 4\vec a\cdot\vec b-4|\vec a|^2-|\vec b|^2 = 0-4-1=-5$$

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