Let =3 i+ j, =2 i- j+3 k.

Question

Let $\vec\alpha=3\hat i+\hat j$, $\vec\beta=2\hat i-\hat j+3\hat k$. If $\vec\beta=\vec\beta_1-\vec\beta_2$, where $\vec\beta_1\parallel\vec\alpha$, $\vec\beta_2\perp\vec\alpha$, then $\vec\beta_1	imes\vec\beta_2$ is:

Accepted Answer

$\vec\beta_1=\lambda\vec\alpha$. Dotting $\vec\beta=\vec\beta_1-\vec\beta_2$ with $\vec\alpha$ (using $\vec\beta_2\perp\vec\alpha$): $\vec\alpha\cdot\vec\beta=\lambda|\vec\alpha|^2 \Rightarrow 5=10\lambda \Rightarrow \lambda=\dfrac12$, so $\vec\beta_1=\dfrac{\vec\alpha}2$.

Crossing $\vec\beta=\vec\beta_1-\vec\beta_2$ with $\vec\beta_1$: $\vec\beta\times\vec\beta_1 = -\vec\beta_2\times\vec\beta_1 = \vec\beta_1\times\vec\beta_2$

$$\vec\beta_1\times\vec\beta_2 = \vec\beta\times\frac{\vec\alpha}2 = \frac12\begin{vmatrix}\hat i&\hat j&\hat k\2&-1&3\3&1&0\end{vmatrix} = \frac12(-3\hat i+9\hat j+5\hat k)$$

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