Let a= i-2 j+ k, b= i- j+ k.

Question

Let $\vec a=\hat i-2\hat j+\hat k$, $\vec b=\hat i-\hat j+\hat k$. If $\vec c$ satisfies $\vec b	imes\vec c=\vec b	imes\vec a$ and $\vec c\cdot\vec a=0$, then $\vec c\cdot\vec b$ is:

Accepted Answer

$\vec b\times(\vec c-\vec a)=\vec 0 \Rightarrow \vec c=\vec a+\lambda\vec b$.

$\vec c\cdot\vec a=0$: $|\vec a|^2+\lambda(\vec a\cdot\vec b)=0$. $|\vec a|^2=1+4+1=6$, $\vec a\cdot\vec b=1+2+1=4$: $6+4\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac32$.

$\vec c = \vec a-\dfrac32\vec b = \left(1-\dfrac32,\ -2+\dfrac32,\ 1-\dfrac32\right) = \left(-\dfrac12,-\dfrac12,-\dfrac12\right)$

$$\vec c\cdot\vec b = -\frac12(1-1+1) = -\frac12$$

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