Let a, b, c be unit vectors with a+ b+ c= 0.

Question

Let $\vec a,\vec b,\vec c$ be unit vectors with $\vec a+\vec b+\vec c=\vec 0$. If $\lambda=\vec a\cdot\vec b+\vec b\cdot\vec c+\vec c\cdot\vec a$ and $\vec d=\vec a	imes\vec b+\vec b	imes\vec c+\vec c	imes\vec a$, the ordered pair $(\lambda,\vec d)$ is:

Accepted Answer

$|\vec a+\vec b+\vec c|^2=0 \Rightarrow 3+2\lambda=0 \Rightarrow \lambda=-\dfrac32$.

With $\vec c=-\vec a-\vec b$:
$$\vec d = \vec a\times\vec b + \vec b\times(-\vec a-\vec b) + (-\vec a-\vec b)\times\vec a = \vec a\times\vec b+\vec a\times\vec b+\vec a\times\vec b = 3(\vec a\times\vec b)$$

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