Let a= i+ j+ k, b= j- k.

Question

Let $\vec a=\hat i+\hat j+\hat k$, $\vec b=\hat j-\hat k$. If $\vec c$ satisfies $\vec a	imes\vec c=\vec b$, $\vec a\cdot\vec c=3$, then $\vec a\cdot(\vec b	imes\vec c)$ is:

Accepted Answer

*(Same setup as Question 4.)* $\vec a\times(\vec a\times\vec c)=\vec a\times\vec b \Rightarrow (\vec a\cdot\vec c)\vec a-|\vec a|^2\vec c = \vec a\times\vec b = -2\hat i+\hat j+\hat k$

$$3\vec a-3\vec c = -2\hat i+\hat j+\hat k \implies 3\vec c = 3\vec a-(-2\hat i+\hat j+\hat k) = 5\hat i+2\hat j+2\hat k$$

$$\vec a\cdot(\vec b\times\vec c) = [\vec a\ \vec b\ \vec c] = \frac13\begin{vmatrix}1&1&1\0&1&-1\5&2&2\end{vmatrix} = \frac13(4-5-5)=-2$$

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