Let a= i+2 j- k, b= i- j, c= i- j- k.

Question

Let $\vec a=\hat i+2\hat j-\hat k$, $\vec b=\hat i-\hat j$, $\vec c=\hat i-\hat j-\hat k$. If $\vec r	imes\vec a=\vec c	imes\vec a$ and $\vec r\cdot\vec b=0$, then $\vec r\cdot\vec a$ is \_\_\_\_\_.

Answer: 12

Accepted Answer

$(\vec r-\vec c)	imes\vec a=\vec 0 \Rightarrow \vec r=\lambda\vec a+\vec c$.

$\vec r\cdot\vec b=0$: $\lambda(\vec a\cdot\vec b)+\vec c\cdot\vec b=0$. $\vec a\cdot\vec b=1-2=-1$, $\vec c\cdot\vec b=1+1=2$: $-\lambda+2=0 \Rightarrow \lambda=2$.

$\vec r=2\vec a+\vec c$. $\vec r\cdot\vec a = 2|\vec a|^2+\vec a\cdot\vec c = 2(6)+(1-2+1) = 12+0=12$.

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