Let a, b, c be non-zero vectors with b c=0 and a( b c) = b- c2.

Question

Let $\vec a,\vec b,\vec c$ be non-zero vectors with $\vec b\cdot\vec c=0$ and $\vec a	imes(\vec b	imes\vec c) = \dfrac{\vec b-\vec c}2$. If $\vec d$ satisfies $\vec b\cdot\vec d=\vec a\cdot\vec b$, then $(\vec a	imes\vec b)\cdot(\vec c	imes\vec d)$ is:

Accepted Answer

$\vec a\times(\vec b\times\vec c) = (\vec a\cdot\vec c)\vec b - (\vec a\cdot\vec b)\vec c = \dfrac{\vec b-\vec c}2$. Since $\vec b,\vec c$ are independent (as $\vec b\cdot\vec c=0$, both non-zero): $\vec a\cdot\vec c=\dfrac12$, $\vec a\cdot\vec b=\dfrac12$.

Given $\vec b\cdot\vec d=\vec a\cdot\vec b=\dfrac12$. Using $(\vec A\times\vec B)\cdot(\vec C\times\vec D) = (\vec A\cdot\vec C)(\vec B\cdot\vec D)-(\vec A\cdot\vec D)(\vec B\cdot\vec C)$:
$$(\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times\vec d) = (\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot\vec d) - (\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot\vec c) = \left(\frac12\right)\left(\frac12\right) - 0 = \frac14$$

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