Let u= i- j-2 k, v=2 i+ j- k, v w=2, and v w= u+ v.

Question

Let $\vec u=\hat i-\hat j-2\hat k$, $\vec v=2\hat i+\hat j-\hat k$, $\vec v\cdot\vec w=2$, and $\vec v	imes\vec w=\vec u+\lambda\vec v$. Then $\vec u\cdot\vec w$ is:

Accepted Answer

Dot the given relation with $\vec w$: $\vec w\cdot(\vec v\times\vec w)=0 = \vec u\cdot\vec w+\lambda(\vec v\cdot\vec w) \Rightarrow 0=\vec u\cdot\vec w+2\lambda$.

Dot with $\vec v$: $\vec v\cdot(\vec v\times\vec w)=0=\vec u\cdot\vec v+\lambda|\vec v|^2$. $\vec u\cdot\vec v=2-1+2=3$, $|\vec v|^2=6$: $0=3+6\lambda \Rightarrow \lambda=-\dfrac12$.

$$\vec u\cdot\vec w=-2\lambda = 1$$

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