Official solution
z = 1 + ai
z2 = 1 - a2 + 2ai
z2 . z = {(1 - a2) + 2ai} {1 + ai}
= (1 - a2) + 2ai + (1 - a2) ai - 2a2
\[ \because \] z3 is real \[ \Rightarrow \] 2a + (1 - a2) a = 0
a (3 - a2) = 0 \[ \Rightarrow \] a = \[\sqrt 3 \] (a > 0)
1 + z + z2 . . . . . . . z11 = \[{{{z^{12}} - 1} \over {z - 1}} = {{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^{12}} - 1} \over {1 + \sqrt 3 i - 1}}\]
= \[{{{{\left( {1 + \sqrt 3 i} \right)}^{12}} - 1} \over {\sqrt 3 i}}\]
(1 + \[{\sqrt 3 i}\])12 = 212 \[{\left( {{1 \over 2} + {{\sqrt 3 } \over 2}i} \right)^{12}}\]
= 212 (cos\[{\pi \over 3}\] + isin\[{\pi \over 3}\])12 = 212 (cos4\[\pi \] + isin4\[\pi \]) = 212
\[ \Rightarrow \] \[{{{2^{12}} - 1} \over {\sqrt 3 i}} = {{4095} \over {\sqrt 3 i}} = - {{4095} \over 3}\sqrt 3 i = - 1365\sqrt 3 i\]