Exams Joint Entrance Examination Mathematics Circle Question 57 Question 57 of 219 Hard MCQ
The set of all values of a 2 a^{2} a 2 for which the line x + y = 0 x+y=0 x + y = 0 bisects two distinct chords drawn from a point P ( 1 + a 2 , 1 − a 2 ) \mathrm{P}\left(\frac{1+a}{2}, \frac{1-a}{2}\right) P ( 2 1 + a , 2 1 − a ) on the circle 2 x 2 + 2 y 2 − ( 1 + a ) x − ( 1 − a ) y = 0 2 x^{2}+2 y^{2}-(1+a) x-(1-a) y=0 2 x 2 + 2 y 2 − ( 1 + a ) x − ( 1 − a ) y = 0 , is equal to :
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x 2 + y 2 − ( 1 + a ) x 2 − ( 1 − a ) y 2 = 0 x^{2}+y^{2}-\frac{(1+a) x}{2}-\frac{(1-a) y}{2}=0 x 2 + y 2 − 2 ( 1 + a ) x − 2 ( 1 − a ) y = 0
Centre ( 1 + a 4 , 1 − a 4 ) ⇒ ( h , k ) \left(\frac{1+\mathrm{a}}{4}, \frac{1-\mathrm{a}}{4}\right) \Rightarrow(\mathrm{h}, \mathrm{k}) ( 4 1 + a , 4 1 − a ) ⇒ ( h , k )
P ( 1 + a 2 , 1 − a 2 ) ⇒ ( 2 h , 2 k ) \mathrm{P}\left(\frac{1+\mathrm{a}}{2}, \frac{1-\mathrm{a}}{2}\right) \Rightarrow(2 \mathrm{h}, 2 \mathrm{k}) P ( 2 1 + a , 2 1 − a ) ⇒ ( 2 h , 2 k )
Equation of chord ⇒ T = S 1 \Rightarrow \mathrm{T}=\mathrm{S}_{1} ⇒ T = S 1
⇒ ( x − y ) λ − 2 h ( x + λ ) 2 − ( 2 k ) ( y − λ ) 2 \Rightarrow(\mathrm{x}-\mathrm{y}) \lambda-\frac{2 \mathrm{~h}(\mathrm{x}+\lambda)}{2}-\frac{(2 \mathrm{k})(\mathrm{y}-\lambda)}{2} ⇒ ( x − y ) λ − 2 2 h ( x + λ ) − 2 ( 2 k ) ( y − λ )
= 2 λ 2 − 2 h ( λ ) + 2 k λ =2 \lambda^{2}-2 \mathrm{~h}(\lambda)+2 \mathrm{k} \lambda = 2 λ 2 − 2 h ( λ ) + 2 k λ
Now, λ ( 2 h , 2 k ) \lambda(2 \mathrm{~h}, 2 \mathrm{k}) λ ( 2 h , 2 k ) satisfies the chord
∴ ( 2 h − 2 k ) λ − h ( x + λ ) − k ( y − λ ) \therefore(2 \mathrm{~h}-2 \mathrm{k}) \lambda-\mathrm{h}(\mathrm{x}+\lambda)-\mathrm{k}(\mathrm{y}-\lambda) ∴ ( 2 h − 2 k ) λ − h ( x + λ ) − k ( y − λ )
⇒ 2 λ 2 + 4 k λ − 4 h λ + h λ − k λ + h x + k y = 0 \Rightarrow 2 \lambda^{2}+4 \mathrm{k} \lambda-4 \mathrm{~h} \lambda+\mathrm{h} \lambda-\mathrm{k} \lambda+\mathrm{hx}+\mathrm{ky}=0 ⇒ 2 λ 2 + 4 k λ − 4 h λ + h λ − k λ + hx + ky = 0
⇒ 2 λ 2 + λ ( 3 k − 3 h ) + k y + h x = 0 \Rightarrow 2 \lambda^{2}+\lambda(3 \mathrm{k}-3 \mathrm{~h})+\mathrm{ky}+\mathrm{hx}=0 ⇒ 2 λ 2 + λ ( 3 k − 3 h ) + ky + hx = 0
⇒ D > 0 \Rightarrow \mathrm{D}>0 ⇒ D > 0
⇒ 9 ( k − h ) 2 − 8 ( k y + h x ) > 0 \Rightarrow 9(\mathrm{k}-\mathrm{h})^{2}-8(\mathrm{ky}+\mathrm{hx})>0 ⇒ 9 ( k − h ) 2 − 8 ( ky + hx ) > 0
⇒ 9 ( k − h ) 2 − 8 ( 2 k 2 + 2 h 2 ) > 0 \Rightarrow 9(\mathrm{k}-\mathrm{h})^{2}-8\left(2 \mathrm{k}^{2}+2 \mathrm{~h}^{2}\right)>0 ⇒ 9 ( k − h ) 2 − 8 ( 2 k 2 + 2 h 2 ) > 0
⇒ − 7 k 2 − 7 h 2 − 18 k h > 0 \Rightarrow-7 \mathrm{k}^{2}-7 \mathrm{~h}^{2}-18 \mathrm{kh}>0 ⇒ − 7 k 2 − 7 h 2 − 18 kh > 0
⇒ 7 k 2 + 7 h 2 + 18 k h < 0 \Rightarrow 7 \mathrm{k}^{2}+7 \mathrm{~h}^{2}+18 \mathrm{kh}<0 ⇒ 7 k 2 + 7 h 2 + 18 kh < 0
⇒ 7 ( 1 − a 4 ) 2 + 7 ( 1 + a 4 ) 2 + 18 ( 1 − a 2 16 ) < 0 \Rightarrow 7\left(\frac{1-\mathrm{a}}{4}\right)^{2}+7\left(\frac{1+\mathrm{a}}{4}\right)^{2}+18\left(\frac{1-\mathrm{a}^{2}}{16}\right)<0 ⇒ 7 ( 4 1 − a ) 2 + 7 ( 4 1 + a ) 2 + 18 ( 16 1 − a 2 ) < 0
⇒ 7 [ 2 ( 1 + a 2 ) 16 ] + 18 ( 1 − a 2 ) 16 < 0 , a 2 = t \Rightarrow 7\left[\frac{2\left(1+\mathrm{a}^{2}\right)}{16}\right]+\frac{18\left(1-\mathrm{a}^{2}\right)}{16}<0, \quad \mathrm{a}^{2}=\mathrm{t} ⇒ 7 [ 16 2 ( 1 + a 2 ) ] + 16 18 ( 1 − a 2 ) < 0 , a 2 = t
⇒ 7 8 ( 1 + t ) + 18 ( 1 − t ) 16 < 0 \Rightarrow \frac{7}{8}(1+\mathrm{t})+\frac{18(1-\mathrm{t})}{16}<0 ⇒ 8 7 ( 1 + t ) + 16 18 ( 1 − t ) < 0
⇒ 14 + 14 t + 18 − 18 t 16 < 0 \Rightarrow \frac{14+14 \mathrm{t}+18-18 \mathrm{t}}{16}<0 ⇒ 16 14 + 14 t + 18 − 18 t < 0
⇒ 4 t > 32 \Rightarrow 4 \mathrm{t}>32 ⇒ 4 t > 32
\[ \Rightarrow \] t > 8 \mathrm{t}>8 t > 8
\[ \Rightarrow \] a 2 > 8 \mathrm{a}^{2}>8 a 2 > 8 Answer the question to unlock