Official solution
\[{}^2C_2+{}^3C_2+\cdots+{}^nC_2={}^{n+1}C_3\quad(\text{hockey-stick identity})\]
\[{}^{n+1}C_2+2\cdot{}^{n+1}C_3={}^{n+2}C_3+{}^{n+1}C_3=\frac{(n+2)!}{3!(n-1)!}+\frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}=\frac{n(n+1)}{6}\left[(n+2)+(n-1)\right]=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\]